chaos theory

La Théorie de Chaos

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meteorology - chaos theory

 

Au début des années 60 beaucoup de scientifiques motivés par les changements de climat et l'augmentation du CO2 de l'atmosphère, obtenus impliqués avec modeler de climat. L'un d'entre eux était le météorologiste Edouard Lorenz, un scientifique de MIT, qui dans 1963 a employé les équations de « Navier - charge » par ordre de modeler l'évolution de l'état de l'atmosphère :

navier stokes

Artikel: „Deterministic nonperiodic flow“, in
„Journal of Atmospheric Sciences“ 20:69 (1976)

Là où :
X = rapport de la rotation de système
y = gradient de la température
z = déviation de la température
d = nombre de Prandtl : [ viscosité ] / [conductivité thermique]
r = différence de de température entre la base et le dessus du système
b = rapport à la longueur de la taille du système.

Les grands vortexes ont de petits vortexes
ce qui sont nourris par sa vitesse
Et les petits vortexes ont de plus petits vortexes
Et ainsi à la viscosité.

Lewis F Richardson

À partir de certain état initial (Xo, Yo, Zo) que le système des équations peut être employé s'est relié pour dessiner la trajectoire correspondante dans l'espace de la phase 3D, obtenant la figure suivante connue sous le nom de « Lorenz Attractor » :

butterfly effect
Note : le Lorenz Attractor est une figure géométrique semblable à un papillon
wich afin d'être contenu, il a besoin de plus de deux dimensions et de moins que
trois (2.06), donc c'est une fractale. (l'inverse de l'exposant de Hurst est égal
à la dimension de fractale d'une série de temps).

La méthode numérique de demmands de résolution pour employer les données XYZ dans t = n-1 pour obtenir les mêmes données dans t = N. Heureusement à Lorenz, les données numériquement obtenues étaient les mêmes à celles prévues pendant plusieurs jours, jusqu'à ce que pendant un matin il ait décidé qu'il a dû sauver le papier et le temps (nous parlons d'un ordinateur « de McBee royal » des années 60), ainsi il a employé trois décimales dans les données d'entrée au lieu d'employer six… et c'était le moment où le chaos est apparu : La trajectoire dans l'espace de la phase a commencé à suivre un itinéraire différent, très différent à partir de la tendance originale, qui était vraiment nouvelle. Une petite marge d'erreur dans les données d'entrée nous prennent pour diagnostiquer l'exposition en été, et comme matière de fait, elle pourrait se produire dans le mot de rel. Jusqu'à ce temps, le physicien ont été employés pour voir qu'une légère différence dans les données d'entrée a dû causer une légère différence dans les données de rendement. Par exemple, pour obtenir l'extension maximum d'une projectile il est nécessaire que l'angle peut être des égales à 45.000… le º mais personne ne s'inquiète des dix prochaines décimales et il ne semble pas logique de demander une telle exactitude. Toutefois il y a les systèmes sensibles aux conditions initiales, comme le temps atmosphérique, où deux points se ferment infinitesimally dans l'espace de la phase peut suivre la trajectoire totalement contradictoire. La marge technologic de la précision va toujours être plus grande qu'on peut conclure le concept de maths du « différentiel », il qu'il est impossible de faire une prévision météorologique fiable dans un terme. Malgré ceci la trajectoire ont la tendance d'être concentré dans certaines zones (« attractors »), en fait il est possible de prévoir le comportement global du système (exemple : chaud dans l'été et le froid en hiver, les deux lobes du Lorenz Attractor). Nous pouvons également observer qu'une différence infinitésimale en conditions initiales peut être illustrée avec un système A de la commande v/s le même système A avec un papillon flottant ses ailes. Comme nous connaissons maintenant que la trajectoire dans l'espace de la phase peut être totalement différente, nous pouvons déclarer que « un papillon flottant ses ailes dans le bidon de Hong Kong provoquent même une tornade au Kansas » (Effet de Papillon).

L'univers olographe et le raccordement d'or
Selon le vieux paradigme de mechanist (XVII C) le tout est simplement suming vers le haut ou se joindre des parties, d'une manière semblable à un mécanisme d'horloge. Comme Isaac Newton cité : « L'univers est simplement une machine colossale ». De l'autre côté, le paradigme relativement nouveau de la théorie de systèmes (XX C) identifie le sinergy parmi les pièces. Puis, le tout est plus grand que l'addition de ses pièces : quand les pièces se joignent ensemble, les nouveaux raccordements parmi elles apparaissent, ce qui produit d'apparaître de nouvelles propriétés :
i) L'être d'humain n'est pas des égales à se joindre simple vers le haut de ses organes. Le confort physique dépend d'un équilibre harmonique parmi tous organes du corps humain et pas de ce qui arrive à chaque organe simple. Quand nous prenons un aspirin, ceci obtient dissous dans le sang, affectant par de cette façon le corps entier.
II) Si un gaz toxique (chlore) joint un métal (sodium) ils produisent d'une substance qui donne un « bon goûtent » à la viande : le sel. Les propriétés du sel n'ont à aucune relation avec celle du gaz toxique ni l'un ni l'autre avec celui dans un métal.

..... La dernière recherche (ex. l'étude des hadrons dans la physique de la prise de particules) l'hypothèse systémique à des niveaux plus complexes : celui de la pièce contenant le tout (« Holons »). Par exemple, dans le cas des fractales régulières, nous avons qu'ils obtiennent leurs propriétés (et même leur effet visuel) devant les changements de la balance.

Sierpinski triangle
regular fractal

..... L'hypothèse « de l'univers olographe » nous indique que l'information de l'univers entier est contenue dans n'importe quel sous-ensemble de elle. Ainsi il devrait être possible de reconstruire l'univers entier d'un microbe simple. En d'autres termes : les pièces sont des reproductions sur l'échelle du tout. Ou aussi : le tout est contenu dans chaque partie unique, la même qu'un hologramme. Si nous coupons dans beaucoup de pièces la plaque d'un hologramme, il se produit que chaque section aura le corps enseignant pour reproduire par l'itsellf l'image originale. Une idée semblable est décrite dans le Sutra Avatamsaka (siècle de ~ V AJC) :

Dans le ciel d'Indra il y a un Web des perles commandées de telle manière que si vous regardez par une, vous voyiez tout autre reflétée dans lui. De la même manière, chaque objet du monde n'est pas simplement lui-même, mais il inclut n'importe quel autre objet simple et il est, en fait, chaque autre [… et la tour d'Indra d'intérieur…] là sont également des centaines de tours de milliers [ou univers], des chaque tellement extraordinairement ornementées comme la tour principale et si spacieuses comme le ciel. Et toutes ces tours au delà d'un nombre ont pu être calculées, ne se dérangent pas absolument ; chaque préserve son existence individuelle en harmonie parfaite avec tout repos ; il n'y a rien ici qui pourrait empêcher une tour étant fusioned avec tout repos individuellement et collectivement ; il y a un état de mélange parfait et, cependant, d'ordre parfait. Sudhana, le jeune pélerin, se voit dans toutes tours et dans des chaque d'entre elles, où le tout est contenu dans chaque et chaque est contenu dans le tout.

…. L'hypothèse qui indique ce la pièce contient le tout peut être exprimée mathématiquement :

holons

Nous voulons que la pièce soit une reproduction à la balance de tout, il signifie :

phi

L'équation à résoudre est : x2 - x - 1 = 0
Comme x >0 :

Ce nombre est appelé « phi » dans l'honneur à l'architecte grec Phidias et pendant la Renaissance on l'a connu comme « nombre d'or » ou « deviner », parce que les grees le déduisent des demandes qui ont joint la philosophie, la religion et les mathématiques.

Selon les Grecs, le rectangle parfait est le d'or : phi

Le principe olographe
i) Trous noirs
- Selon Shannon, l'information peut être mesurée par « l'entropie informatique », une grandeur directement proportionnelle à la quantité de peu et à la « entropie de thermodynamique ».
- L'entropie de thermodynamique dans un trou noir est des égales :

black hole and information
(Jacob Bekenstein)

- Voyons que l'entropie dans un trou noir est proportionnelle à sa surface. En outre, les trous noirs sont les objets avec la plus grande possible entropie. Inférence : l'information stockée par un trou noir est proportionnelle à sa surface.
- Il est important ici de mentionner que quatre secteurs de Planck sont nécessaires (cm2 de ~ 2.61*10-66) pour décrire un peu au-dessus de la surface des événements d'un trou noir.

II) Paradoxe olographe
L'information contenue dans des puces est directement proportionnelle à la quantité de puces. Ce fil nous pour prouver qu'en états de normale l'information est directement proportionnelle au volume. Inférence : l'information est une quantité étendue (comme le poids). Cependant, si nous augmentons la densité de la matière, cette quantité de puces pourrait devenir un trou noir, réalisant le paradoxe que l'information pourrait être codée dans la surface des événements (et pas en volume des puces). C'est pourquoi dans ce cas extrême, les arrêts de l'information étant une quantité étendue : Toute information 3D a pu être codée en tant que 2D. Ergo…

holographic principle
Ce qui peut s'assurer que notre perception d'être
la vie dans un espace 3D n'est rien autrement qui une illusion ?

Principe olographe
Une description complète de ce qui se produit à l'intérieur d'une salle 3D peut être obtenue, avec décrire juste ce qui arrive aux 2d murs.






* La série de Fibonacci
Leonardo De Pise, aka Fibonacci (XIII siècle), a voyagé autour du mineur d'Asie et a obtenu des contacts avec les mathématiques de greates du temps. Grâce à eux il realizad que beaucoup de phénomènes normaux pourraient être modelés vers le haut avec la série suivante :

Fibonacci

La série produit les calues suivants : 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc.

Exemples

i) Pignon

Fibonacci

ii) Shell du Nautilus

Fibonacci

iii) Galaxie en spirale

Fibonacci

iv) Exemple biologique
Un microbe dure une heure au maturate et une heure pour se reproduire par la mitose. Puis, la quantité de fonction de microbesin de temps sera :

t
n
0
0 (les débuts d'expérience)
1
1(le microbe « A » d'A est placé)
2
1 (microbe A mûr)
3
2 (microbe A + son descendency)
4
3
5
5
6
8, etc

Let diagramme maintenant Q = x) (de t/x (T-1) avec le >= 2 de t :

Fibonacci
x

Hasard ?
Si l'univers veut nous indiquer quelque chose, quelle serait la langue qu'il emploierait ?
La réponse de Galilée : « L'univers est écrit en langue de maths ».
Selon les jeans de James d'astronome : « Plus qu'une grande machine, l'univers semble être une grande pensée ».


CARACTÉRISATION DU CHAOS
La théorie de chaos nous permet de déduire l'ordre subjacent que les phénomènes apparent aléatoires cachent. Il est bien connu que totalement les équations de determinist (comme l'ensemble du Lorenz) montrent les caractéristiques suivantes qui définissent le chaos :
i) Elles sont redetrminist, il signifie :
- Il y a une « loi » cette des règles le comportement du système (ce qu'est vis-à-vis le « determinist » ? « Aléatoire » ? ou « avec la volonté libre » ? Y a il volonté libre aux sciences dures ou est de lui juste une illusion ?)
- Le phénomène a pu être exprimé par le « arrangement » au lieu de le faire par la « prolongation ».
- Il y a une simulation de la quantité inférieure (KB) que le système original qui laisse produire des mêmes données observées.
Il est important de citer cela selon Chaitin (1994) qu'un système est aléatoire quand l'algorythm que sa propre série produit des utilisations plus de KB que le système original (de même, plus efficace sont exprimer le système par « prolongation » et pas par un algorythm)
II) Elles sont très sensibles aux conditions initiales.
Une déviation infinitésimale dans le point de départ cause une divergence exponentielle dans la trajectoire de l'espace de la phase, ce qui peut être mesuré avec le « exposant de Lyapunov ».
- La sensibilité extrême des marques à conditions initiales que le comportement de système pourrait être indetermined du « horizon de Predictibility », pendant que l'incertitude technologique est associée aux données d'entrée il que va toujours être plus grand au concept des « mathématiques infinitésimales ».
- Malgré l'unpredectibilty d'une trajectoire particulière de l'espace de la phase, « Attractors » peut être trouvé ou les zones de l'espace de la phase qui tendent « à être visitées » avec plus de fréquence que d'autres.
NOTE : Normalement la trajectoire de l'espace de la phase d'un système chaotique produit d'une courbe de fractale (de dimension fractionary)
III) Ils semblent aléatoires ou désordonnés, mais finalement ils ne sont pas :
- Ils suivent des équations de determinist
- Ils montrent des attractors
…. Un exemple de determinist mais d'équations chaotiques est :
fractals
Le papillon que l'effet peut être illustred comaring les diagrammes qui sont obtenus quand les conditions initiales suivantes sont employées :
Système A : Xo = 0.399999
Système A + un papillon : Xo = 0.400000 (juste un millionième de la différence)

butterfly effect

Quelques outils mathématiques qui nous permettent d'étudier le chaos sont :
i) L'exposant de Hurst (H)
Un nombre qui indique le degré d'influence du présent au cours du futur (degré de similitude du phénomène avec « le mouvement brownien » ou « le marcheur aléatoire ».
Possibilités :
- H > 0.5 : Système persistant (corrélation positive). Exemple : Si H = 0.7, il y a alors une possibilité de 70% que le membre suivant de la série montre à la même tendance que le membre réel.
- H = 0.5 : Système aléatoire (corrélation nulle ou « bruit blanc »)
- H < 0.5 : Système d'Antiperistent (corrélation négative)
ii) Complexité relative de Lempel Ziv (LZ)
C'est une évaluation du degré algorythmic de complexité qu'il devrait présenter une simulation capable pour représenter loyalement et exactement le phénomène. On le calcule par l'algorythm de Kaspar et de Schuster.
Possibilités :
LZ = 1.0 = complexité maximum (série aléatoire)
LZ = 0.0 = série parfaitement prévisible.

« [Que la trajectoire de l'espace de la phase ont] la dépendance sensible des conditions initiales signifie qu'elles ont la tendance de se séparer
de la trajectoire plus étroite. «

James Gleick

iii) Un plus grand exposant de Lyapunov (L)
C'est une évaluation du rapport de divergence de maximun entre la trajectoire deux de l'espace de la phase dont l'initiale conditionne le difere infinitesimally. Les unités sont peu par unité de temps (dans la base 2) et elles sont calculées avec l'algorythm du loup.
Possibilités :
- L < = 0 : série périodique
- L > 0 : série chaotique
- L ---> oO : série aléatoire
iv) Entropie informatique
C'est une indication du degré de désordre des données il est ajouter calculé vers le haut des exposants positifs de Lyapunov dans la base d'e (algorythm de Grassberger et de Procaccia).

Fin de la série

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