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Die Chaos-Theorie



Britisches Volk-Gedicht:
Für einen Nagel bekommen es das Hufeisen verliren
für ein Hufeisen bekommen es das Pferd verliren
für ein Pferd wurde der Reiter verloren
für einen Reiter wurde die Schlacht verloren
für eine Schlacht wurde das Königreich verloren
.

Schluß: für einen Nagel wurde das Königreich verloren
Das ist die Theorie des Chaos


meteorology - chaos theory

 

In den frühen sechziger Jahren viele Wissenschaftler, motiviert durch die Klimaänderungen und die Zunahme von CO2 der Atmosphäre, sich entscheiden das Klima zu modellieren. Eine von ihnen war der Meteorologe Edward Lorenz, ein Wissenschaftler von MIT, der in 1963 die Differentialgleichungen von "Navier Stokes" benutzt, um die Entwicklung des Zustandes der Atmosphäre zu modellieren:

navier stokes

Artikel: „Deterministic nonperiodic flow“, in
„Journal of Atmospheric Sciences“ 20:69 (1976)

Wo:
x = Verhältnis der System-Rotation
y = Gradient der Temperatur
z = Abweichung der Temperatur
d = Zahl von Prandtl: [Viskosität ]/ [Wärmeleitfähigkeit]
r = Temperaturunterschied zwischen der Unterseite und der Oberseite des Systems
b = Verhältnis zwischen der Länge und der Höhe des Systems.

Die grossen vortexes haben kleine vortexes
welche durch seine Geschwindigkeit ernährt werden
Und die kleinen vortexes haben kleinere vortexes
Und so zur Viskosität.

Lewis F Richardson

Seit bestimmten Ausgangszustand (Xo, Yo, Zo), um die Bahnkurve im Raum der Phase 3D zu zeichnen es ist möglich, das Differentialgleichungen-System zu benutzen, und es ist die folgende Abbildung bekannt als "Lorenz Attractor" erreicht:

butterfly effect
Anmerkung: der Lorenz Attractor ist eine geometrische Abbildung, die einem Schmetterling
ähnlich ist, und dieser Abbildung enthalten zu werden, benötigt der Attraktor mehr als zwei
Ausmaße und kleiner als drei (2.06), folglich ist er ein fractal. (das Gegenteil des Exponenten
von Hurst ist gleich zum Fracta-Maß einer Zeit-Reihe).

Die numerische Methode der Auflösung demmands, zum der Daten XYZ in t = n-1 zu verwenden, zum der gleichen Daten in t = N zu erhalten. Glücklicherweise zu Lorenz, waren die Daten, die numerisch erhalten wurden, die gleichen zu den, die für einige Tage erwartet wurden, bis ein Morgen er entschied, daß er Papier und Zeit (uns sprechen über einen "Royal McBee" Computer der sechziger Jahre) sparen mußte, also verwendete er drei Dezimalsziffern in den Eingang Daten anstatt sechs... und das war der Weg, als das Chaos erschien: Die Bahnkurve im Raum der Phase begann, einem anderen Weg zu folgen, sehr unterschiedlich zu der ursprünglichen Tendenz, die wirklich neu war. Ein kleiner Seitenrand dem Fehler in den Eingang Daten nehmen uns, um Schneefallen im Sommer zu vorhersagen, und als Tatsache, könnte das im wirklich Wort geschehen. In der damaligen Zeiten dachte der Physiker, daß ein geringfügiger Unterschied bezüglich der Eingang Daten einen geringfügigen Unterschied in den Ausgang Daten verursachen mußte. Zum Biespiel, die maximale Reichweite eines Geschosses zu erhalten ist es notwendig, daß der Winkel gleichgestellte mit 45.000 Grads sein kann… Aber niemand interessiert sich für die folgenden 10 Dezimalsziffern und solche Genauigkeit scheint nicht logisch zu bitten. Gleichwohl ist es sehr empfindliche Systeme zu den Ausgangsbedingungen, wie dem atmosphärischen Wetter gibt, in dem zwei Punkte infinitesimally im Raum der Phase schließen, können total unvereinbarer Bahnkurve folgen. Der technologic Seitenrand der Präzision wird immer größer sein, als das Mathekonzept "des Differentials", es gefolgert werden kann, daß es unmöglich ist, eine zuverlässige meteorologische Vorhersage in einem Long-term zu bilden. Trotz dieses haben die Bahnkurve die Tendenz, in bestimmten Zonen ("Attractors") konzentriert zu werden, in Wirklichkeit ist es möglich, das globale Verhalten des Systems zu prognostizieren (Beispiel: heiß am Sommer und an der Kälte im Winter, an dem zwei Lappen des Lorenz Attractors). Wir können auch beobachten, daß ein Infinitesimalunterschied bezüglich der Ausgangsbedingungen veranschaulicht werden kann, mit einem System A der Steuerung v/s das gleiche System A mit einem flatternden Schmetterling seine Flügel. Wie wir wissen, nun da die Bahnkurve im Raum der Phase total unterschiedlich sein kann, können wir angeben, daß "ein flatternder Schmetterling seine Flügel in der Hongkong sogar einen Tornado in Kansas erregen kann" (Schmetterling Effekt).

Das Holographischen-Universum und der goldener Anschluss
Entsprechend dem alten mechanist Paradigma (18. Jahrhundert) ist das Ganze einfach die Summe oder die Hinzufügung der Teile, in einer ähnlichen Weise zu einer Uhrwerk. Wie Isaac Newton veranschlug: "Das Universum ist einfach eine gigantische Maschine". Auf der anderen Seite erkennt das verhältnismäßig neue Paradigma der Theorie der Systeme (20. Jahrhundert) das sinergy unter den Teilen. Dann ist das Ganze grösser als die Hinzufügung seiner Teile: wenn die Teile zusammen verbinden, erscheinen neue Anschlüsse unter ihnen, was das Erscheinen der neuen Eigenschaften erzeugt:
I) Das Mensch ist nicht nur die Hinzufügung seiner Organe. Das körperliche Wohlbefinden hängt von einem harmonischen Gleichgewicht unter allen Organen des menschlichen Körpers und nicht von ab, was geschieht jedem einzelnen Organ. Wenn wir ein Aspirin nehmen, dieses im Blut aufgelöst und durch diese Weise den vollständigen Körper beeinflußt.
II) Wenn ein giftiges Gas (Chlor) zu ein Metall (Natrium) verbindet, erzeugen sie eine Substanz, die ein "gutes schmecken" zum Fleisch gibt: das Salz. Die Eigenschaften des Salzes haben keiner Relation mit den des toxischen Gases oder keiner mit den in einem Metall erhalten.

..... Neueste Forschung (zum Beispiel, "die Studie von Hadrons in der Partikelphysik") fuehren die Systemshypothese zu den sehr komplizierteren Niveaus: das des Teils, welches das Ganze enthält ("Holons"). Z.B. im Falle der regelmäßigen fractals, haben wir, daß sie ihre Eigenschaften (und sogar ihren Sehlinie-Effekt) vor den änderungen in der Skala erhalten.

Sierpinski triangle
regular fractal

Sierpinski-Dreieck: in der Begrenzung ist die Oberflaeche (schwarz) des Objekts Null. Zum
Recht gibt es eine Vergrößerung der Figur ganz selbstähnlichen (regelmäßig Fractal).

..... Die Hypothese "des Holographischen-Universums" erklärt uns, daß die Informationen des vollständigen Universums in jeder möglicher Teilmenge von ihr enthalten werden. So sollte es möglich sein, das vollständige Universum von einer einfachen Mikrobe umzubauen. Mit anderen Worten: die Teile sind Wiedergaben auf Skala des Ganzen. Oder auch: das Ganze wird in jedem einzelnen Teil, das selbe wie ein Hologramm enthalten. Wenn wir in vielen Teilen die Plakette eines Hologramms hacken, geschieht es, daß jeder Abschnitt des Hologramms hat, zum durch derselbe des ursprünglichen Bildes zu reproduzieren. Eine ähnliche Idee wird im Sutra Avatamsaka umrissen (~ 5. Jahrhundert v.C.):

Im Himmel von Indra gibt es ein Netz der bestellten Perlen, so daß, wenn du durch eine schaust, du alle andere siehst, die in ihm reflektiert wird. In der gleichen Weise ist jeder Gegenstand der Welt nicht derselbe, aber er schließt jeden anderen einzelnen Gegenstand ein und er ist tatsächlich jeder anderer [… und im Turm von Indra…] dort ist auch die Hunderte Tausendetürme [oder Universum], jedes so vorzüglich verziert wie der Hauptturm und so geräumig wie Himmel. Und alle diese Türme über einer Zahl hinaus konnten errechnet werden, nicht sich stören jeden zu einanderer; jedes konserviert sein einzelnes Bestehen in der vollkommenen Harmonie mit allem Rest; es gibt nichts hier, das einen Turm behindern könnte, der mit allem Rest einzeln und zusammen sich verschmelzt; es gibt einen Zustand der vollkommenen Mischung und jedoch der vollkommenen Ordnung. Sudhana, der junge Pilger, sieht sich in allen Türme und in jedem von ihnen, wo das Ganze in jedem enthalten wird und jedes im Ganzen enthalten wird.

…. Die Hypothese, die erklärt, dass der Teil das Ganze enthält, kann mathematisch ausgedrückt werden:

Der Tail
Das Ganze
Zwei Holons: ein Quadrat (immer selbstähnlich)
Ein golden Rechteck
holons
Anmerkung: wie widerholen den Prozeß mit dem Rechteck bei der Linke, um ein neues selbstähnliches Rechteck (wie das Serpinski-Dreieck) zu erhalten. Auf diese Weise, es ist möglich, einen Fraktal von den holonischen Forderungen zu erzeugen. In Anbetracht den suchenden Hinweisen schneit es, daß niemand über diese wichtige Verbindung bemerkt.

 

Wir wünschen, daß der Teil eine Wiedergabe zur Skala des Ganzes ist, es bedeuten:

phi

Die Gleichung zu lösen ist: x2 - x - 1 = 0
Als x >0:

Diese Zahl wird "Phi" in der Ehre zum griechischen Architekten Phidias genannt und während der Renaissance bekannt es als die "goldene Zahl", oder "heilig Zahl", weil die Griechen nach den Forderungen abgeleitet haben, die Philosophie, Religion und Mathematik verbanden.

Nach Ansicht des Griechen ist das "Goldene Viereck" das vollkommene Viereck:phi

Das holographische Prinzip
I) Schwarze Löcher
- Nach Shannon Meinung können die Informationen durch die "Informatikentropie" gemessen werden; und die Größenordnung ist verhältnismäßig direkt zur Quantität von bits und zur "Thermodynamikentropie".
- Die Thermodynamikentropie in einer Schwarzer Loch ist gleich zu:

black hole and information
Wo:
S = die Thermodynamikentropie des Schwarzen Loches.
K = Boltzmannskonstante
c = Lichtsgeschwindigkeit
G = Universalgravitationskonstante
h = Planckskonstante
A = Oberfläche des Fallhorizonts des Schwarzen Loches.
(Jacob Bekenstein)

- Lassen Sie uns sehen, daß die Entropie des Schwarzen Loches verhältnismäßig zu seiner Oberfläche ist. Auch die Schwarzen Löcher sind die Gegenstände mit der größten möglichen Entropie. Kollorarium: die Informationen, die durch ein Schwarz Loch gespeichert werden, zu seiner Oberfläche verhältnismäßig ist.
- Es ist wichtig hier, zu erwähnen, daß vier Fläche von Planck (~ 2.61*10-66 cm2) benötigt werden, um eine Bit über der Oberfläche von Fällen einer Schwarzen Loch zu beschreiben.

II) Holographische Paradox
Die Informationen, die in Mikrochips enthalten werden, ist verhältnismäßig direkt zur Menge der Mikrochips. Diese führen uns zu zeigen, daß in Normalzuständen die Informationen ist verhältnismäßig direkt zum Volumen. Kollorarium: die Informationen sind eine ausdehnbare Menge (wie das Gewicht). Jedoch wenn wir die Dichte der Materie erhöhen, könnte diese Menge Mikrochips ein Schwarzen Loch werden und das Paradox erzielen, daß die Informationen in der Oberfläche von Fällen kodifiziert werden konnten (und nicht im Volumen der Mikrochips). So, in diesem Extremfall, ist die Informationen nicht mehr eine ausdehnbare Menge: Alle Informationen 3D konnten als 2D kodifizert werden. Dann…

holographic principle
Wer kann uns sichern, daß unsere Wahrnehmung von "das Leben
leben" in einem Raum 3D nicht richtig ist, sondern eine Illusion?


Holographische Prinzip
Es ist möglich, eine komplette Beschreibung von was innerhalb eines Raumes (3D) geschieht, mit gerade beschreiben, was den Mauern (2D) geschieht.






* Fibonacci-Reihe
Leonardo De Pisa, alias Fibonacci (13. Jahrhundert), reiste um Minor-Asien und erhielt Kontakte mit der hervorragendes Mathematik der damaligen Zeiten. Dank ihnen er erkannte, daß viele natürliche Phänomene mit der folgenden Reihe modelliert werden konnten:

Fibonacci

Die Reihe gibt die folgenden Werte: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc.

Beispiele

i) Pinienkern

Fibonacci

ii) Nautilißmuschel

Fibonacci

iii) Spiralesgalaxis

Fibonacci

iv) Biologisches Beispiel
Eine Mikrobe dauert eine Stunde zum maturate und eine Stunde, um sich durch Mitosis zu reproduzieren. Dann, die Menge der Mikrobes in Funktion der Zeit ist:

t
n
0
0 (fang das Experiment an)
1
1 (eine Mikrobe A hat gestellt)
2

1 (Mikrobe A ausgereift)

3
2 (Mikrobe A + seine Nachkommenschaft)
4
3
5
5
6
8, usw.

Lassen Sie uns jetzt zu zeichnen Q = x (t)/x (T-1) mit t >= 2:

Fibonacci
Wohin oder zu welches Zahl die Reihe neigen zu?

Zufall?
Wenn das Universum uns etwas erklären möchte: welches Sprache es verwenden würde?
Antwort Galileos: "Das Universum wird in Mathesprache geschrieben".
Entsprechend den Astronom James Jeans: "Mehr als eine große Maschine, das Universum scheint, ein großer Gedanke zu sein".


CHAOSSCHARAKTERISIERUNG
Die Theorie von Chaos erlaubt uns, den darunterliegend Ordnung abzuleiten, den die anscheinend aleatorischen Phänomene verstecken. Es ist weithin bekannt, daß die voellig deterministische Gleichungen (wie die Lorenzsgleichungen) die folgenden Eigenschaften zeigen, die das Chaos definieren:
I) I) Sie sind deterministische, es bedeuten:
- Es gibt ein "Gesetz" die das Verhalten des Systems regiert (was gegenüber "deterministische" ist?; "aleatorische" oder "mit freiem Willen"?; Gibt es freier Wille zu den harten Wissenschaften oder ist es gerade eine Illusion?).
- Das Phänomen konnte durch das "Verstehen" ausgedrückt werden, anstatt es durch "Ausdehnung" zu tun.
- Es gibt eine Simulation der niedrigeren Menge (Kb) als das ursprüngliche System, das die gleichen beobachteten Daten erzeugen darf.
Es ist wichtig zu notieren, entsprechend Chaitin (1994), dass ein System aleatorisch ist, wenn das Algorythm, dem seine eigene Reihe erzeugt, mehr KB als das ursprüngliche System benutzt (ebenso, das leistungsfähiger ist, das System durch "Ausdehnung" und nicht durch ein Algorythm auszudrücken.
II) Die Gleichungen sind für die Ausgangskonditionen sehr empfindlich.
- Eine Infinitesimalabweichung im Ausgangspunkt verursacht eine exponentiale Abweichung in der Bahnkurve des Raumes der Phase, was mit dem "Lyapunov Exponenten" bestimmt auflösen werden kann.
- Die extreme Empfindlichkeit zu den Ausgangskonditionen bedeut, daß das System Verhalten seit gewißem "Vorhaltrechner Horizont" unbestimmt wird, weil die technologische Ungewißheit zu den Eingang Daten verband ist, es ist immer grösser als Konzept "der Mathematik-Infinitesimal".
- Trotz des Ungewißheit einer bestimmten Bahnkurve des Raumes der Phase, "Attractors" oder Zonen des Raumes der Phase kann gefunden werden oder Zonen des Raumes der Phase, die neigen mit mehr Frequenz als andere "besichtigt zu werden".

ANMERKUNG: Normalerweise erzeugt die Bahnkurve des Raumes der Phase, von einem chaotischen Systems, eine fractal Kurve (des gebrochen Ausmaßes)

III) Die Gleichungen scheinen zu uns als ungeordnet oder vom Zufall abhängig, aber schließlich sind sie nicht:
- Sie folgen deterministischen Gleichungen
- Sie zeigen Attractors
…. Ein Beispiel von deterministischen und chaotischen Gleichungen ist:
fractals
Es ist möglich der Schmetterling-Effekt zu zeigen, wenn wir die Bilder vergleichen, wenn die folgenden Ausgangsbedingungen verwendet werden:
System A: Xo = 0.3999
System A + ein Schmetterling: Xo = 0.4000

butterfly effect

Einige mathematische Werkzeuge, die uns erlauben, das Chaos zu studieren, sind::
I) Exponent Hursts (H)
Eine Zahl, die den Einflußgrad vom Gegenwart über der Zukunft anzeigt (der Aehnlichkeitgrad des Phänomens mit der "Brownischen Bewegung" oder vom "Aleatorischem Wanderer".
Möglichkeiten:
- H > 0.5: Bleibend System (positive Korrelation). Beispiel: Wenn H = 0.7, dann dort eine 70% Möglichkeit ist, daß das folgende Mitglied in der Reihe der gleichen Tendenz die das tatsächliche Mitglied zeigt.
- H = 0.5: Aleatorisches System (Null Korrelation oder "Weiss Geräusch")
- H < 0.5: Unbleibend System (negative Korrelation)
II) Relative Kompliziertheit von Lempel Ziv (LZ)
Es ist eine Schätzung des algorythmic Schwierigkeit-Grads, daß es eine Simulation darstellen sollte, die um zuverlässig und genau fähig das Phänomen darzustellen ist. Es wird durch das Kaspar und Schuster Algorythm errechnet.
Möglichkeiten:
LZ = 1.0 = Schwierigkeitmaxime Kompliziertheit (aleatorische Reihe)
LZ = 0.0 = keine Sorge um die Reihe vorauszusagen.

„[Ob die Bahnkurve des Raumes der Phase haben] empfindliche Abhängigkeit der Ausgangsbedingungen, das bedeutet, daß sie Tendenz haben, sich zu trennen von der genaueren Bahnkurve„

James Gleick

III) III) Grösserer Exponent von Lyapunov (L)
Es ist eine Schätzung des maximun Abweichungverhältnisses zwischen zwei Bahnkurve des Raumes der Phase, auf dem Ausgangsbedingungen in eine Infinitesimalsmenge verschieben. Die Einheiten sind Bits pro Zeiteinheit (Basis 2) und sie werden mit dem Algorythm des Wolfs errechnet.
Möglichkeiten:
- L < = 0: periodische Reihe
- L > 0: chaotische Reihe
- L ---> oO: aleatorische Reihe

iv) Informatikentropie
Es ist eine Anzeige des Unordnunggrad der Daten und es wird die Summe der allen positiven Exponenten von Lyapunov in Basis "e" errechnetes (Algorythm von Grassberger und von Procaccia).

 

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