chaos theory

A Teoria do Caos

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perto

 

meteorology - chaos theory

 

Nos 60's adiantados muitos cientistas motivated pelas mudanças do clima e pelo aumento do CO2 na atmosfera, começados involvidos com modelar do clima. Um deles era o Meteorologist Edward Lorenz, um cientista do MIT, que em 1963 usasse as equações diferenciais de “Navier - Stokes” em ordem de modelar a evolução do estado da atmosfera:

navier stokes

Artigo: “Deterministic nonperiodic flow„, no
“Journal of Atmospheric Sciences„ 20:69 (1976)

Onde:
x = relação da rotação do sistema
y = gradient da temperatura
z = desvio da temperatura
d = número de Prandtl: [ viscosidade ] / [conductivity térmico]
r = diferença de de temperatura entre a base e o alto do sistema
b = relação entre o comprimento e a altura do sistema.

Os vortexes grandes começaram vortexes pequenos
quais nourished com sua velocidade
E os vortexes pequenos começaram vortexes menores
E assim à viscosidade.

Lewis F Richardson

Partir de determinada condição inicial (Xo, Yo, Zo) que o sistema de equações diferenciais pode ser usado conectou para extrair o trajectory correspondente no espaço da fase 3D, obtendo a seguinte figura sabida como “Lorenz Attractor”:

butterfly effect
Nota: o Lorenz Attractor é uma figura geométrica similar a uma borboleta
wich a fim para ser contido, necessita mais de duas dimensões e menos do que
três (2.06), conseqüentemente é uma fractal. (o inverse do exponente de Hurst é igual
à dimensão fractal de uma série do tempo).

O método numérico dos demmands da definição para usar os dados XYZ em t = n-1 para começar os mesmos dados em t = N. Felizmente a Lorenz, os dados obtidos numericamente foram mesmos a esses esperados por diversos dias, até que uma manhã se decidiu que teve que conservar o papel e o tempo (nós estamos falando sobre “um computador de McBee real” dos 60's), assim que usou três decimais nos dados de entrada em vez de usar seis… e aquele era o tempo em que o caos apareceu: O trajectory no espaço da fase começou seguir uma rota diferente, muito diferente da tendência original, que era realmente nova. Uma margem pequena do erro nos dados de entrada faz exame de nos para diagnosticar a mostra no verão, e como a matéria de fato, poderia acontecer na palavra do rel. Até esse tempo, o físico foi usado ver que uma diferença ligeira nos dados de entrada teve que causar uma diferença ligeira nos dados da saída. Por exemplo, obter o alcance máximo de um projectile é necessário que o ângulo pode ser iguais a 45.000… o º mas ninguém importa-se com os dez decimais seguintes e não parece lógico pedir tal exatidão. Porém há uns sistemas sensíveis às condições iniciais, como o tempo atmosférico, onde dois pontos se fecham infinitesimally no espaço da fase pode seguir o trajectories totalmente contradictory. A margem technologic da precisão está indo sempre ser maior do que o conceito dos maths do “diferencial”, ele pode ser conclído que é impossível fazer uma predição meteorológica de confiança em um prazo. Apesar desta o trajectories tem a tendência ser concentrado em determinadas zonas (“attractors”), de fato é possível prever o comportamento global do sistema (exemplo: quente no verão e no frio no inverno, nos dois lóbulos do Lorenz Attractor). Nós podemos também observar que uma diferença infinitesimal nas circunstâncias iniciais pode ser ilustrada com um sistema A do controle v/s o mesmo sistema A com uma borboleta que vibra suas asas. Porque nós sabemos agora que o trajectories no espaço da fase pode ser totalmente diferente, nós podemos indicar que “uma borboleta que vibra suas asas na lata de Hong Kong provoca mesmo um furacão em Kansas” (Efeito da Borboleta).

O universo holográfico e a conexão dourada
De acordo com o paradigm velho do mechanist (XVII C) o todo é simplesmente suming acima ou juntar das partes, em uma maneira similar a um mecanismo do pulso de disparo. Como Isaac Newton citado: “O universo é simplesmente uma máquina gigantesca”. No outro lado, o paradigm relativamente novo da teoria dos sistemas (XX C) reconhece o sinergy entre as peças. Então, o todo é mais grande do que a adição de suas peças: quando as peças juntam junto, as conexões novas entre elas aparecem, o que gera aparecer de propriedades novas:
i) Ser do ser humano não é semelhantes a juntar simples acima de seus órgãos. O confort físico depende de um equilíbrio harmonic entre todos os órgãos do corpo humano e não de o que acontece a cada único órgão. Quando nós fazemos exame de um aspirin, este começa dissolvido no sangue, afetando por esta maneira o corpo inteiro.
ii) Se um gás tóxico (cloro) juntar um metal (sodium) geram uma substância que dê um “bom prove” à carne: o sal. As propriedades do sal não começaram a nenhuma relação com essas do gás tóxico nenhuns com esses em um metal.

..... A pesquisa a mais atrasada (ex. o estudo dos hadrons na física da tomada das partículas) a hipótese systemic aos níveis mais complexos: essa da peça que contem o todo (“Holons”). Por exemplo, no exemplo dos fractals regulares, nós temos que começam suas propriedades (e mesmo seu efeito visual) na frente das mudanças na escala.

Sierpinski triangle
regular fractal

..... A hipótese “do universo holográfico” diz-nos que a informação do universo inteiro está contida em todo o subconjunto dela. Assim deve ser possível reconstruir o universo inteiro de um micróbio simples. Em outras palavras: as peças são reproduções na escala do todo. Ou também: o todo é contido em cada única parte, a mesma que um hologram. Se nós chop em muitas peças a chapa de um hologram, acontece que cada seção terá a faculdade para reproduzir pelo itsellf a imagem original. Uma idéia similar é esboçada no Sutra Avatamsaka (século do ~ V BC):

No céu de Indra há uma correia fotorreceptora das pérolas requisitadas de tal maneira que se você olhar com uma, você verá toda a outra refletida nela. Na mesma maneira, cada objeto do mundo não é justo próprio, mas inclui todo o outro único objeto e é, no fato, cada outro [… e torre de Indra do interior…] lá é também centenas de torres dos milhares [ou de universos], cada ornamented assim exquisitely como a torre principal e assim spacious como o Heaven. E todas estas torres além de um número podiam ser calculadas, não se perturbam absolutamente; cada preserva sua existência individual na harmonia perfeita com todo o descanso; não há nada aqui que poderia impedir uma torre que é fusioned com todo o descanso individualmente e coletivamente; há um estado da mistura perfeita e, entretanto, da ordem perfeita. Sudhana, pilgrim novo, vê-se himself em todas as torres e em cada delas, onde o todo é contido em cada e cada é contido no todo.

…. A hipótese que diz esse a peça contem o todo pode ser expressada matematicamente:

holons

Nós queremos que a peça seja uma reprodução à escala de tudo, ele significamos:

phi

A equação a resolver é: x2 - x - 1 = 0
Como x >0:

Este número é nomeado “phi” na honra ao arquiteto grego Phidias e durante o renascimento soube-se como “o número dourado” ou “Divine”, porque os grees o deduzem das demandas que juntaram a filosofia, a religião e a matemática.

De acordo com os gregos, o retângulo perfeito é o dourado: phi

O princípio holográfico
i) Furos pretos
- De acordo com Shannon, a informação pode ser medida com “a entropia informatic”, um valor diretamente proporcional à quantidade de bocados e do “à entropia thermodynamics”.
- A entropia do thermodynamics em um furo preto é iguais:

black hole and information
(Jacob Bekenstein)

- Vamos ver que a entropia em um furo preto é proporcional a sua superfície. Também, os furos pretos são os objetos com a entropia possível a mais grande. Inference: a informação armazenada por um furo preto é proporcional a sua superfície.
- É importante aqui mencionar que quatro áreas de Planck estão necessitadas (cm2 do ~ 2.61*10-66) descrever um bocado sobre a superfície dos eventos de um furo preto.

ii) Paradox holográfico
A informação contida no os microchips é diretamente proporcional à quantidade de microchips. Esta ligação nós para mostrar que em condições do normal a informação é diretamente proporcional ao volume. Inference: a informação é uma quantidade extensiva (como o peso). Entretanto, se nós aumentássemos a densidade da matéria, essa quantidade de microchips poderia transformar-se um furo preto, conseguindo o paradox que a informação poderia ser codificada na superfície dos eventos (e não no volume dos microchips). Isso é porque neste caso extremo, os batentes da informação que são uma quantidade extensiva: Toda a informação 3D podia ser codificada como o 2D. Ergo…

holographic principle
O que pode assegurar que nossa percepção de ser
viver em um espaço 3D não é nada mais que um illusion?

Princípio holográfico
Uma descrição completa de o que aconteça dentro de um quarto 3D pode ser obtida, com apenas descrição de o que acontece às 2d paredes.






* Série de Fibonacci
Leonardo de Pisa, aka Fibonacci (XIII século), viajou em torno do menor de Ásia e começou contatos com a matemática dos greates do tempo. Agradecimentos a eles ele realizad que muitos fenômenos naturais poderiam ser modelados acima com a seguinte série:

Fibonacci

A série outputs os seguintes calues: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, etc.

Exemplos

i) Porca de pinho

Fibonacci

ii) Shell do nautilus

Fibonacci

iii) Galáxia espiral

Fibonacci

iv) Exemplo biológico
Um micróbio dura uma hora ao maturate e uma hora para reproduzir-se através do mitosis. Então, uma quantidade de função do microbesin do tempo será:

t
n
0
0 (os começos da experiência)
1
1(o micróbio “A” de A é ajustado)
2
1 (micróbio A maduro)
3
2 (micróbio A + seu descendency)
4
3
5
5
6
8, etc

Let diagrama agora Q = x) (de t/x (T-1) com >= 2 de t:

Fibonacci
Que é o número que a série tem a tendência a?

Fortuity?
Se o universo quisesse nos dizer algo, que seria a língua que se usaria?
Resposta de Galileo: “O universo é escrito na língua dos Maths”.
De acordo com as calças de brim de James do astrónomo: “Mais do que uma máquina grande, o universo parece ser um pensamento grande”.


CARACTERIZAÇÃO DO CAOS
A teoria do caos permite que nós deduzam a ordem subjacent que os fenômenos aparentemente aleatórios escondem. É boa - sabido que totalmente as equações do determinist (como o jogo do Lorenz) mostram as seguintes características que definem o caos:
i) São redetrminist, ele significam:
- Há uma “lei” essa réguas o comportamento do sistema (o que é o oposto “determinist”? “Aleatório”? ou “com vontade livre”? Há vontade livre às ciências duras ou está ele apenas um illusion?)
- O fenômeno podia ser expressado pela “compreensão” em vez de fazê-la com a “extensão”.
- Há uma simulação de uma quantidade mais baixa (Kb) do que o sistema original que reserva para gerar os mesmos dados observados.
É importante citar isso de acordo com Chaitin (1994) que um sistema é aleatório quando o algorythm que sua própria série gera usos mais Kb do que o sistema original (do mesmo modo, mais eficiente é expressar o sistema pela “extensão” e não através de um algorythm)
ii) São muito sensíveis às circunstâncias iniciais.
Um desvio infinitesimal no ponto começar causa um divergency exponencial no trajectory do espaço da fase, o que pode quantified com de “o exponente Lyapunov”.
- O sensibility extremo makes às circunstâncias iniciais que o comportamento do sistema poderia ser indetermined de “do horizonte Predictibility”, enquanto a incerteza tecnologico é associada aos dados de entrada ele que está indo sempre ser mais grande ao conceito da “matemática infinitesimal”.
- Apesar do unpredectibilty de um trajectory particular do espaço da fase, “Attractors” pode ser encontrado ou as zonas do espaço da fase que tendem “a ser visitadas” com mais freqüência do que outra.
NOTA: Normalmente o trajectory do espaço da fase de um sistema chaotic gera uma curva fractal (da dimensão fractionary)
iii) Parecem aleatory ou disordered, mas finalmente não são:
- Seguem equações do determinist
- Mostram attractors
…. Um exemplo do determinist mas de equações chaotic é:
fractals
A borboleta que o efeito pode ser illustred comaring os diagramas que são começados quando as seguintes circunstâncias iniciais são usadas:
Sistema A: Xo = 0.399999
Sistema A + uma borboleta: Xo = 0.400000 (apenas um millionth da diferença)

butterfly effect

Algumas ferramentas matemáticas que permitem que nós estudem o caos são:
i) Exponente de Hurst (H)
Um número que indique o grau da influência do presente sobre o futuro (grau de similitude do fenômeno com “o movimento Brownian” ou “o Walker Aleatory”.
Possibilidades:
- H > 0.5: Sistema persistente (correlação positiva). Exemplo: Se H = 0.7, então lá for uma possibilidade de 70% que o seguinte membro na série mostra à mesma tendência que o membro real.
- H = 0.5: Sistema Aleatory (correlação nula ou “ruído em branco”)
- H < 0.5: Sistema de Antiperistent (correlação negativa)
ii) Complexidade relativa de Lempel Ziv (LZ)
É um valuation do grau algorythmic da complexidade que deve apresentar uma simulação capaz para representar fielmente e exatamente o fenômeno. Calcula-se através do algorythm de Kaspar e de Schuster.
Possibilidades:
LZ = 1.0 = complexidade máxima (série aleatory)
LZ = 0.0 = série perfeitamente predictable.

“[Que o trajectories do espaço da fase tem] a dependência sensível das circunstâncias iniciais significa que têm a tendência se separar
do trajectories mais próximo. “

James Gleick

iii) Exponente mais grande de Lyapunov (L)
É um valuation da relação do divergency do maximun entre o trajectories dois do espaço da fase de que difere inicial das circunstâncias infinitesimally. As unidades são bocados por a unidade de tempo (na base 2) e são calculadas com o algorythm do lobo.
Possibilidades:
- L < = 0: série periódica
- L > 0: série chaotic
- L ---> oO: série aleatory
iv) Entropia Informatic
É uma indicação do grau de disorder dos dados ele é adição calculada acima dos exponentes positivos de Lyapunov na base de e (algorythm de Grassberger e de Procaccia).

Fim da série

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